密码学中的数论基石：从欧几里得到椭圆曲线的数学之旅

引言：当数学遇见信息安全

密码学是当今数字世界的信任基础设施。现代密码学的安全性不是基于攻击者不够聪明，而是基于某些数学问题在计算上不可行。

基础数论

模运算定义了有限结构。欧拉定理 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 和费马小定理是 RSA 和 Diffie-Hellman 密钥交换的数学基石。离散对数问题（DLP）是现代公钥密码的核心。

RSA：公钥密码学的开山之作

RSA 的安全性基于大整数分解问题。密钥生成包括选择大质数 p、q，计算 N=pq，选择公钥指数 e，计算私钥 d=e⁻¹ mod φ(N)。

椭圆曲线密码学（ECC）

椭圆曲线上的群结构和离散对数问题（ECDLP）让 ECC 能用 256 位密钥提供与 RSA 3072 位同等的安全性。secp256k1 是比特币和以太坊使用的曲线。

后量子密码学

Shor 算法能在多项式时间内解决整数分解问题。NIST 2024 年后量子标准包括 ML-KEM (Kyber)、ML-DSA (Dilithium) 和 SLH-DSA (SPHINCS )。