数学

博弈论计算实战:从 Minimax 与纳什均衡到 MCTS 与机制设计的完整工程链路

博弈论不是经济学家的专利。当你训练一个 GAN、构造一个对抗样本、让两个智能体在环境中博弈、或者用 RLHF 把大模型对齐到人类偏好时,你正在求解一个博弈。本文给出从形式化建模、经典算法(Minimax/Alpha-Beta、纳什均衡计算、MCTS)到机制设计(Vickrey 拍卖、激励兼容)的一条可运行工程链路,所有核心算法都附可执行的 Python 实现,并落到 AI 场景(GAN、对抗鲁棒性…

随机过程深度实战:从随机游走、泊松过程与布朗运动到伊藤积分、马尔可夫链与高斯过程的完整工程链路

随机过程是把"不确定性"变成可计算对象的第一性原理工具。我们日常写的神经网络、队列系统、扩散模型、强化学习环境、贝叶斯先验,背后几乎都站着某个随机过程——SGD 的噪声是布朗扰动,MCMC 采样是马尔可夫链,扩散模型的反向去噪是伊藤随机微分方程,PageRank 是平稳分布,主动学习的采集函数是高斯过程。本文用纯 NumPy 从零实现随机游走、泊松过程、布朗运动、伊藤 SDE、马尔可夫链、鞅与高斯…

贝叶斯推断计算实战:从贝叶斯定理、共轭先验与吉布斯采样到 MCMC、哈密顿蒙特卡洛与变分推断的完整工程链路

贝叶斯推断把"未知参数"当作随机变量,用数据去更新我们对它的信念:先验(prior)乘以似然(likelihood)再归一化,得到后验(posterior)。这条简单的定理是整个概率建模、不确定性量化与机器学习校准的底层操作系统。本文从第一性原理出发,亲手实现共轭先验的闭式后验、网格近似、Metropolis-Hastings、Gibbs 采样、哈密顿蒙特卡洛(HMC)与变分推断(VI),每一段都…

运筹优化与线性规划深度实战:从单纯形法、对偶理论与最大流到整数规划与分支定界的完整工程链路

运筹优化(Operations Research)是工程世界里"在约束下求最优"的一门硬科学:给定有限的资源、成排的不等式约束和一个要最大化的目标,它告诉你每个变量该取多少。它既是最古老的数学规划分支之一,也是今天 AI 系统与分布式基础设施的隐形骨架——推理集群的批处理调度受显存与时延约束、微服务网格的流量工程受链路容量约束、训练编排的资源分配受节点槽位约束,这些本质上都是线性规划或整数规划。本…